Question

8．如图．四棱锥P-ABCD中．平而PAD⊥平而ABCD，底而ABCD为梯形．AB∥CD，AB=
2DC=2$\sqrt{3}$，AC∩BD=F，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD的重心．
（1）求证：GF∥平面PDC；
（2）求平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接AG并延长交PD于H，连接CH，由重心性质结合已知可得$\frac{AG}{GH}=\frac{AF}{FC}$，再由平行线截线段成比例可得GF∥HC．由线面平行的判定可得GF∥平面PDC；
（2）由已知证明PE⊥平面ABCD，以E为原点建立如图所示空间直角坐标系，结合AB=$2DC=2\sqrt{3}$，可得所用点的坐标，求出两个平面PAB、AGC的一个法向量，由两法向量所成角得余弦值可得平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值．

解答 （1）证明：连接AG并延长交PD于H，连接CH，
由于ABCD为梯形，AB∥CD且AB=2DC，知$\frac{AF}{FC}=2$，
又G为△PAD的重心，∴$\frac{AG}{GH}=2$，
在△AHC中，∵$\frac{AG}{GH}=\frac{AF}{FC}$，∴GF∥HC．
又HC?平面PCD，GF?平面PCD，
∴GF∥平面PDC；
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，
△PAD与△ABD均为正三角形，延长PG交AD的中点E，
连接BE，∴PE⊥AD，BE⊥AD，则PE⊥平面ABCD，
以E为原点建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=$2DC=2\sqrt{3}$．
∴A（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，3），B（0，3，0），
D（$-\sqrt{3}$，0，0），G（0，0，1），
∴$\overrightarrow{AG}=（-\sqrt{3}，0，1）$，$\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{3}，3，0）$，$\overrightarrow{AP}=（-\sqrt{3}，0，3）$．
设C（x₀，y₀，z₀），
∵$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，∴$（{x}_{0}+\sqrt{3}，{y}_{0}，{z}_{0}）=\frac{1}{2}（-\sqrt{3}，3，0）$，
可得${x}_{0}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，${y}_{0}=\frac{3}{2}$，z₀=0，∴C（$-\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0$）．
∴$\overrightarrow{AC}=（-\frac{5\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$．
设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+3y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-\sqrt{3}x+3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，可得$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，1）$．
同理可得平面AGC的一个法向量$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，5，3）$．
∵cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{3+5+3}{\sqrt{5}×\sqrt{37}}=\frac{11\sqrt{185}}{185}$．
∴sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{8\sqrt{185}}{185}$．
则平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值为$\frac{8}{11}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．