Question

10．用如图所示的几何体中，四边形BB₁C₁C是矩形，BB₁⊥平面ABC，A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁，E是AC的中点．
（1）求证：A₁E∥平面BB₁C₁C；
（2）若AC=BC，AB=2BB₁，求二面角A-BA₁-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点F，连结EF，A₁F．则可通过证明平面A₁EF∥平面BB₁C₁C得出A₁E∥平面BB₁C₁C；
（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BA₁-E的余弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A₁F．
∵AB=2A₁B₁，∴BF=A₁B₁，
又A₁B₁∥AB，∴四边形A₁FBB₁是平行四边形，
∴A₁F∥BB₁，∵E，F分别AC，AB的中点，∴EF∥BC，
又EF?平面A₁EF，A₁F?平面A₁EF，EF∩A₁F=F，BC?平面BB₁C₁C，BB₁?平面BB₁C₁C，BC∩BB₁=B，
∴平面A₁EF∥平面BB₁C₁C．
又A₁E?平面A₁EF，∴A₁E∥平面BB₁C₁C．                                                                                                         
解：（2）连结CF，则CF⊥AB，
以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），A₁（0，0，1），B（0，1，0），C（$\sqrt{7}$，0，0），
∴E（$\frac{\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），
设平面A₁BE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=\frac{\sqrt{7}}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{3}{\sqrt{7}}$，1，1），
平面ABA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），设二面角A-BA₁-E的平面角为θ，
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\frac{3}{\sqrt{7}}$，则cosθ=$|\\;\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\\;\overrightarrow{n}|\\;}|\$$\frac{3\sqrt{23}}{23}$．
∴二面角A-BA₁-E的余弦值为$\frac{3\sqrt{23}}{23}$，

点评 本题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．