Question

20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD．且PD=2EC=$\sqrt{2}$．
（1）求证：AC∥平面PBE；
（2）若AD=1，求直线PB与底面ABCD所成角的大小；
（3）若AD=1，求四棱锥B-PDCE的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC与BD的交点为O，取PB的中点F，连接EF，OF，证明：OCEF为平行四边形，可得AC∥EF，利用线面平行的判定定理证明AC∥平面PBE；
（2）由PD⊥平面ABCD，可得∠PBD为PB与平面ABCD所成的角，即可求直线PB与底面ABCD所成角的大小；
（3）利用锥体的体积公式求四棱锥B-PDCE的体积．

解答 （1）证明：设AC与BD的交点为O，取PB的中点F，连接EF，OF，$则OF∥PD且OF=\frac{1}{2}PD$．
$又由已知：EC∥PD且EC=\frac{1}{2}PD$，∴OF∥EC且OF=EC，
∴OCEF为平行四边形．…（2分）
从而AC∥EF，又EF?面PBE，AC?面PBE．
故AC∥面PBE…（4分）
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD为PB与平面ABCD所成的角．…（6分）
$在Rt△PDB中，PD=BD=\sqrt{2}$．∴$∠PBD=\frac{π}{4}$．…（8分）
（3）解：∵BC⊥面PDCE，
∴${V_{B-PDCE}}=\frac{1}{3}•{S_{梯形PDCE}}•BC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．