Question

5．如图，E是边长为2的正方形ABCD的AB边的中点，将△AED与△BEC分别沿ED、EC折起，使得点A与点B重合，记为点P，得到三棱锥P-CDE．
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PCD；
（Ⅱ）求点P到平面CDE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明PE⊥PD，PE⊥PC证明PE⊥平面PCD，然后推出平面PED⊥平面PCD．
（Ⅱ）设点P到平面CDE的距离为h，通过V_E-PCD=V_P-ECD，求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵∠A=∠B=90°，∴PE⊥PD，PE⊥PC．
∵PD交PC于点P，PC，PD在平面PCD内，∴PE⊥平面PCD，
∵PE在平面PED内，∴平面PED⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：设点P到平面CDE的距离为h，
依题意可知，三角形CDE是底边长为2，高为2的三角形，
所以其面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$．
由（Ⅰ）知PE⊥平面PCD，易知△PCD是边长为2的等边三角形，其面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，PE=1，
所以${V_{E-PCD}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵V_E-PCD=V_P-ECD，∴$\frac{1}{3}×2×h=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．