Question

已知函数（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较与a_n的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），令f_n′（x）＞0，则x＜eⁿ⁺¹-n．所以f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上递增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上递减．由此能求出S_n．
（Ⅱ）由n≥1，知eⁿ⁺¹递增，n（n+1）递增，递减．所以，令，则，故g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．由此入手能够求出a的取值范围．
（Ⅲ）作差相减，得，整理为，令，能够推导出．
解答：解：（Ⅰ），（2分）
令f_n′（x）＞0，则x＜eⁿ⁺¹-n．
∴f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上递增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=eⁿ⁺¹-n时，（5分）
即，
则．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴eⁿ⁺¹递增，n（n+1）递增，
∴递减．
∴，
即（8分）
令，则，
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，；
当x→+∞时，；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?，
∴（11分）
（Ⅲ）
=
=
=（12分）
令，
∵在[1，+∞）上递减．
∴，
即（13分）
又（14分）
∴
∴（15分）
点评：本题考查导数在函数最值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养运算能力，注意作差法的合理运用．