Question

17．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=$\frac{1}{2}A{A_1}$=2，点D是棱AA₁的中点．
（1）证明：平面BDC₁⊥平面BDC₁；
（2）求三棱锥C₁-BDC的体积．

Answer 1

分析 （1）由题设证明BC⊥平面ACC₁A₁，可得DC₁⊥BC，再由已知可得∠ADC=∠A₁DC₁=45°，得∠CDC₁=90°，即C₁D⊥DC，结合线面垂直的判定得DC₁⊥平面BDC，从而得到平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）求解直角三角形可得$CD=\sqrt{A{C^2}+A{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，得到Rt△CDC₁的面积$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，再由等积法可得三棱锥C₁-BDC的体积．

解答 （1）证明：由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，又AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又∵DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC，
∵∠ADC=∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°，即C₁D⊥DC，
∵DC∩BC=C，∴DC₁⊥平面BDC，又∵DC₁?平面BDC₁，
平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）解：由$AC=BC=\frac{1}{2}A{A_1}=2$，得AA₁=4，∴AD=2，
∴$CD=\sqrt{A{C^2}+A{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，
则Rt△CDC₁的面积$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∴${V_{{C_1}-BD{C_1}}}={V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}S•BC=\frac{1}{3}×4×2=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．