题目内容

6．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），其导函数f′（x），且满足f（x）+f′（x）＜0，则不等式ex+2019f（x+2015）＜f（-4）的解集为{x|-2019＜x＜-2015}．

分析 构造函数g（x）=ex•f（x），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：构造函数g（x）=ex•f（x），
则g′（x）=[ex•f（x）]′=ex•f′（x）+ex•f（x）=ex•[f（x）+f′（x）]，
∵f（x）+f′（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
即g（x）在（-∞，0）上为减函数，
由不等式ex+2019f（x+2015）＜f（-4），
得：ex+2015•f（x+2015）＜e-4•f（-4），
即g（x+2015）＜g（-4），
则-4＜x+2015＜0，得-2019＜x＜-2015．
即不等式ex+2019f（x+2015）＜f（-4）的解集为：{x|-2019＜x＜-2015}．
故答案为：{x|-2019＜x＜-2015}．

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，判断函数的单调性，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

练习册系列答案
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16．已知函数f（x）=xex-aex-1，且f′（1）=e．
（1）求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=kx2-2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1-x2|＞ln$\frac{4}{e}$．
17．已知抛物线C：y2=4x，经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（-4，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：kAM+kBM=0；
（Ⅱ）若直线l的斜率为k（k＜0），求$\frac{k}{{k}_{AM}•{k}_{BM}}$的最小值．
14．已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（　　）
A．1B．$\frac{3}{2}$C．2D．$\frac{5}{2}$
1．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-（2a+1）x，a∈R
（1）当a=1时，求不等式f（x）•g（x）＞0的解集；
（2）若a≠0，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递减区间；
（3）求证：当a∈[-$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{3}$]时，对于任意两个不等的实数x1，x2∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]，均有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立．
11．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$-ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若f（x）有两个不同的零点x1，x2，试比较x1x2与2e2的大小．
（参考数据，e≈2.7，取ln2≈0.7，$\sqrt{2}$≈1.4，）
18．函数f（x）=$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+6{x}^{2}+1}$+1的最大值与最小值的乘积为（　　）
A．2B．$\frac{7}{9}$C．$\frac{15}{16}$D．$\frac{17}{16}$
15．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是$\frac{10}{3}π$．
16．下面的伪代码输出的结果是24．

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