Question

11．设点A，B的坐标分别为（4，0），（-4，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（　　）

• A． 当m＜-1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点）
• B． 当-1＜m＜0时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点）
• C． 当m＞0时，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）
• D． 当0＜m＜1时，轨迹为焦点在y轴上的双曲线（除与y轴的两个交点）

Answer 1

分析 把m＜-1代入mx²-y²=16m，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点），判断A不正确，把-1＜m＜0代入mx²-y²=16m，轨迹为焦点在在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点），判断B不正确，把0＜m＜1代入mx²-y²=16m，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点），判断D不正确，设出P点坐标，由向量之积等于m列式，可得P的轨迹方程，核对四个选项得答案．

解答 解：设P（x，y），则${k}_{AP}=\frac{y-0}{x-4}$=$\frac{y}{x-4}$（x≠4），${k}_{BP}=\frac{y-0}{x-（-4）}=\frac{y}{x+4}$（x≠-4），
由k_BP•k_AP=m，得$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}=m$，
∴mx²-y²=16m．
当m＞0时，方程化为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16m}=1$（x≠±4），轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了轨迹方程的求法，属中档题．