Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|，则下列说法正确的是（　　）

• A． 该函数的值域是[-1，1]
• B． 当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）时，f（x）＜0
• C． 当且仅当x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，该函数取得最大值
• D． 该函数是以π为最小正周期的周期函数

Answer 1

分析 化简f（x）成分段函数去掉绝对值．结合三角函数的图象和性质直接判断即可得到答案．

解答 解：由函数f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|，
可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，（sinx＜cosx）}\\{cosx，（sinx≥cosx）}\end{array}\right.$
可知函数的周期为2π，故D不对．
由正余弦函数图象可得：函数的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，故A不对．
从图象可知：当2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）时，f（x）＜0，故B对．
当x=$2kπ+\frac{π}{4}$时，函数取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故C不对．
故选B．

点评 本题考查了分段函数的性质和三角函数图象和性质的运用．属于中档题．