Question

15．（1）解方程4^x-2^x-2=0．
（2）求不等式 log₂（2x+3）＞log₂（5x-6）；
（3）求函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-4x}$，x∈[0，5）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用换元法化圆方程为一元二次方程求解；
（2）直接利用对数函数的单调性化对数不等式为一元一次不等式组求解；
（3）令u=x²-4x换元，由x得范围求得u的范围，再由指数函数的单调性得答案．

解答 解：（1）解：原方程可化为（2^x）²-2^x-2=0．
令2^x=t，则t＞0，所以t²-t-2=0，
解得t=2或t=-1（舍）．
由2^x=2解得x=1；
（2）原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{2x+3＞0}\\{5x-6＞0}\\{2x+3＞5x-6}\end{array}\right.$，解得$\frac{6}{5}$＜x＜3，
∴原不等式的解集为（$\frac{6}{5}，3$）；
（3）令u=x²-4x，x∈[0，5），则-4≤u＜5，
则$（\frac{1}{3}）^{5}＜y≤（\frac{1}{3}）^{-4}$，即$\frac{1}{243}＜y≤81$．
即值域为（$\frac{1}{243}，81$]．

点评 本题考查指数不等式与对数不等式的解法，训练了利用换元法求指数型函数的值域，是中档题．