Question

5．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=$\sqrt{2}$，F是BC的中点．
（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC
（Ⅱ）PD的中点为G，求证：CG∥平面PAF
（Ⅲ）求三棱锥A-CDG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠ACB=∠DAC=90°，PA⊥DA，AC⊥DA，由此能证明DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，则四边形FCGH为平行四边形，由此能证明CG∥平面PAF．
（Ⅲ）由V_A-CDG=V_G-ACD，能求出三棱锥A-CDG的体积．

解答 证明：（Ⅰ）四边形是平行四边形，∴∠ACB=∠DAC=90°，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，
∴DA⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，
则GH平行且等于$\frac{1}{2}$AD，连接FH，则四边形FCGH为平行四边形，…（6分）
∴GC∥FH，
∵FH?平面PAE，CG?平面PAE，
∴CG∥平面PAF．  …（8分）
解：（Ⅲ）设S为AD的中点，连结GS，则GS平行且等于$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$，
∵PA⊥平面ABCD，∴GS⊥平面ABCD，
∴三棱锥A-CDG的体积V_A-CDG=V_G-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•GS$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC×AD×GS$=$\frac{1}{12}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．