Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin（\frac{πx}{3}+\frac{5}{6}π），-3≤x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四个不同解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范围为（　　）

• A． [1，$\frac{7}{2}$）
• B． [1，$\frac{7}{2}$]
• C． [-1，$\frac{7}{2}$]
• D． [-1，$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 作出函数f（x），得到x₁，x₂关于x=-1对称，x₃x₄=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作函数f（x）的图象如右，
∵方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂关于x=-1对称，即x₁+x₂=-2，
由|log₂x|=2得x=$\frac{1}{4}$或x=4，
由|log₂x|=1得x=$\frac{1}{2}$或x=2，
即$\frac{1}{4}$＜x₃≤$\frac{1}{2}$，2≤x₄＜4，
则|log₂x₃|=|log₂x₄|，
即-log₂x₃=log₂x₄，
则log₂x₃+log₂x₄=0
即log₂x₃x₄=0
则x₃x₄=1；
故${x_3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{4}$＜x₃≤$\frac{1}{2}$；
则函数y=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在$\frac{1}{4}$＜x₃≤$\frac{1}{2}$上为减函数，
则故x₃=$\frac{1}{2}$取得最大值，为y=1，
当x₃=$\frac{1}{4}$时，函数取得最大值为-2×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{\frac{1}{4}}$=-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{7}{2}$．
即函数取值范围是[1，$\frac{7}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．