Question

已知如图，抛物线与x轴相交于B（，0）、C（，0） (

均大于0)两点, 与y轴的正半轴相交于A点. 过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，其面积为 .

（1）请确定抛物线的解析式；

（2）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D．若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．

 

 

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析： （1）首先由⊙P的面积为可知，圆半径，然后取出中点为E，连接，，由圆心距的性质知，再由勾股定理和圆性质可求出的长度，进而求出点和点的坐标.最后将点和点的坐标代入抛物线的方程得到方程组，求解之即可.

（2）根据弦切角定理可知，，因此本小题可分两种情况：①当时，此时，且AD是圆P的直径，可根据∽和∽得出关于、、、的对应成比例线段求出的长，然后根据切割线定理可得，即可得出所求的值；②当时，思路与①相同，也是先求出的长，可根据直线的解析式求出点的坐标，然后通过∽，求出的长，后面同①即可.

试题解析：（1）根据题意知：圆半径，取中点为E，连接，，则，

且，，由勾股定理和圆性质知：，从而知：.

将B，C两点坐标代入抛物线方程可得：抛物线的解析式为.

（2）根据题意知，，所以和相似有两种情况:

①和，此时是的直径，则，，

又因为∽，所以，即.

又因为∽，所以，即.

②和对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点.

因为，，所以直线MB的解析式是：，所以M点的坐标为，所以，由∽得，，所以.

① ②

考点：抛物线的综合应用.