Question

已知正项数列满足（）.

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）证明：.

Answer 1

证明：（1）

方法一：因为，所以，             

故，当且仅当时，等号成立.                     

方法二：

因为，所以，             

故，当且仅当时，等号成立.                      

（2）由（1）知，又，

所以，所以.                                   

（3）先证：

当n=1时，不等式显然成立；                                      

假设当n=k（）时不等式成立，即.              

当n=k+1时，由得，   

即当n=k+1时，不等式成立；                                   

综上，对一切都有成立.                         

再证：

由及（），得（），

所以当n=1时，不等式显然成立；                                

当时，假设存在k，使得，                       

则有，即，

所以，，┅，，，    

与题设矛盾.                                     

所以对一切都有成立.                          

所以对一切都有成立.