Question

2．已知抛物线的方程为y=x²，直线l的方程为2x-y-4=0．P为抛物线上的一个动点．
（1）若点P到直线l的距离最短，求点P的坐标：
（2）若动点P到x轴的距离为d₁，点P到直线l的距离为d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线y=x²上一点为P（x₀，x₀²），求出点P（x₀，x₀²）到直线2x-y-4=0的距离，利用配方法，由此能求出抛物线y=x²上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标；
（2）点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x-y+2=0的垂线，此时d₁+d₂最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d₁+d₂的最小值．

解答 解：（1）设抛物线y=x²上一点P（x₀，x₀²），
点P（x₀，x₀²）到直线2x-y-4=0的距离d=$\frac{|2{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|（x₀-1）²+3|，
∴当x₀=1时，即当P（1，1）时，
抛物线y=x²上一点到直线2x-y-4=0的距离最短，且为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（2）y=x²的焦点F（0，$\frac{1}{4}$），准线为y=-$\frac{1}{4}$，
点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线2x-y-4=0的垂线，此时d₁+d₂最小，
且d₁+d₂=$\frac{|0-\frac{1}{4}-4|}{\sqrt{4+1}}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{17\sqrt{5}}{20}$-$\frac{1}{4}$；

点评 本题主要考查了抛物线的定义和简单性质，点到直线距离公式的应用，正确运用抛物线的定义是关键．