Question

20．如图所示，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿梯形各边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x），如果AB=8，BC=4，CD=5，DA=5，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据图象关系建立f（x）与x的函数关系式，即可得到函数的解析式．

解答 解：根据图2可知当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，与△ABC面积相等；且不变的面积是在x=4，x=9之间；
所以在直角梯形ABCD中BC=4，CD=5，AD=5．
过点D作DN⊥AB于点N，则有DN=BC=4，BN=CD=5，
在Rt△ADN中，AN=$\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3
AB=8，x在BC段时，x∈[0，4]
所以△ABC的面积为：
f（x）=$\frac{1}{2}$AB•BP=$\frac{1}{2}$×8x=4x．
x∈（4，9]，△ABC的面积为：
f（x）=$\frac{1}{2}AB•BC$=$\frac{1}{2}×8×4$=16，
x∈（9，14]，△ABC的面积为：
f（x）=$\frac{1}{2}AB•\frac{4}{5}（14-x）$=$\frac{224-16x}{5}$，
函数f（x）的解析式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x，x∈[0，4]}\\{16，x∈（4，9]}\\{\frac{224-16x}{5}，x∈（9，14]}\end{array}\right.$．

点评 主要考查了函数图象的读图能力，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．