Question

16．若直线y=k（x-3）+4和曲线y=$\sqrt{9-{x^2}}$有且只有一个交点，则实数k的取值范围为$\left\{{\frac{7}{24}}\right\}∪（{\frac{2}{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 由曲线方程的特点得到此曲线表示在x轴上方的圆的一半，可得出圆心坐标和圆的半径r，然后根据题意画出相应的图形，根据图形，直线y=k（x-3）+4，恒过（3，4），由图形过（3，4），（-3，0）的直线的斜率为$\frac{2}{3}$；
由圆心到直线的距离d=$\frac{|-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，可得直线与圆相切时，直线的斜率为$\frac{7}{24}$，综上，得到满足题意的k的范围．

解答 解：由题意可知：曲线方程表示一个在x轴上方的圆的一半，
则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=3，
画出相应的图形，如图所示：

直线y=k（x-3）+4，恒过（3，4），由图形过（3，4），（-3，0）的直线的斜率为$\frac{2}{3}$；
由圆心到直线的距离d=$\frac{|-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，可得直线与圆相切时，直线的斜率为$\frac{7}{24}$．
综上，直线与曲线只有一个交点时，k的取值范围为$\left\{{\frac{7}{24}}\right\}∪（{\frac{2}{3}，+∞}）$．
故答案为：$\left\{{\frac{7}{24}}\right\}∪（{\frac{2}{3}，+∞}）$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键．