Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展开式中，第5项的系数与第3项的系数比是10：1
求：（1）展开式中含x

3

2

的项
（2）展开式中二项式系数最大的项
（3）展开式中系数最大的项．

Answer 1

Tr+1=

C

rn

x

n-r

2

(-2)rx-2r（r=0，1，…n）
（1）第5项的系数为C_n⁴（-2）⁴，第3项的系数为C_n²（-2）²∴

C 4n •16

C 2n •4

=10，解得n=8．令

8-r

2

-2r=

3

2

，解得r=1
∴展开式中含x

3

2

的项为(1)T2=-16x

3

2

-------------（4分）
（2）由二项式系数性质得C₈⁴最大，则二项式系数最大的项为T5=

1120

x6

------（8分）
（3）先求(

x

+

2

x2

)8展开式中系数最大的项
设第r项系数最大，则

C r8 2r≥ C r-18 2r-1 C r8 2r≥ C r+18 2r+1

即

8! r!(8-r)! •2r≥ 8! (r-1)!(8-r+1)! •2r-1 8! r!(8-r)! •2r≥ 8! (r+1)!(8-r-1)! •2r+1

解得

r≤6 r≥5

，则r=5或r=6，故(

x

-

2

x2

)8中第7项系数最大，T7=

1792

x11

-------（12分）