Question

11．已知点M是离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，过点M作直线MA，MB交椭圆C与A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，
（1）若点A，B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（2）若点M的坐标为（0，1），且k₁+k₂=3，求证：直线AB过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率得到a，b的关系，把椭圆方程化为x²+3y²=3b²．设出M，A的坐标，代入椭圆方程得到M，A两点横纵坐标的关系，把直线MA，MB的斜率用两点坐标表示，作积后得答案；
（2）由已知求得椭圆方程，设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由k₁+k₂=3得到直线AB的斜率和截距的关系，再由直线系方程得到直线AB过定点的坐标．

解答 （1）解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，∴a²=3b²，
设椭圆方程为x²+3y²=3b²．
再设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
则有${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=3{b}^{2}$，${{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}=3{b}^{2}$，
${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{3（{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}）}=-\frac{1}{3}$；
（2）证明：M（0，1），则b²=1，∴椭圆方程为x²+3y²=3．
设AB方程：y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△=36k²m²-（4+12k²）（3m²-3）=12（3k²-m²+1）＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}=\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（m+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}=3$．
则$\frac{2k•\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}+（m+1）•\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}}{\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}}=3$，整理得3m²-3=2km-2k，即3m+3=2k，
∴y=kx+$\frac{2}{3}k-1$，则直线过定点（-$\frac{2}{3}$，-1）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查“设而不求”的解题思想方法，是中档题．