Question

已知函数f(x)=

4x

x2+1

，函数g（x）=x²-2ax+a（a∈R）．
（1）若x＞0，求函数f（x）值域；
（2）若?x₁∈R，?x₂∈[-1，1]使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过x＞0，化简表达式，利用基本不等式直接求函数f（x）值域；
（2）通过?x₁∈R，求出f（x）的最小值，通过?x₂∈[-1，1]求出g（x）的直线，满足g（x₂）≤f（x₁），只需f_min（x）≤g_min（x），即可求解实数a的取值范围．

解答：解：（1）x＞0，函数f(x)=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

，
∵x+

1

x

≥1（当且仅当x=1时取等号）
∴0＜

4

x+ 1 x

≤

4

2

=2，∴f（x）∈（0，2]．
∴x＞0，函数f（x）值域：（0，2]．
（2）x＞0，f（x）∈（0，2]．
x＜0，函数f（x）∈[-2，0），
x=0时，f（x）=0．
∴x∈R时，f（x）∈[-2，2]
又gmin(x)=

1+3a       a≤-1 -a2+a    -1＜a＜1 1-a        a≥1

由f_min（x）≤g_min（x）知
当a≤-1时，1+3a≤-2，a≤-1．
当-1＜a＜1时，-a²+a≤2，a∈R
当a≥1时，1-a≤-2，∴a≥3
综上得a≤-1或a≥3

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的值域以及基本不等式的综合应用，函数最值的应用，考查转化思想以及计算能力．