Question

4．设函数f（x）=2k+$\sqrt{x+4}$，若曲线y=cosx上（存在点（x₀，y₀），使f（f（y₀））=y₀，则k的取值范围是（　　）

• A． [--4，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$]
• B． [-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]
• C． [-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]
• D． [-4，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]

Answer 1

分析 由题意可得存在y₀∈[-1，1]，使f（y₀）=y₀成立，故有2k+$\sqrt{{y}_{0}+4}$=y₀．令t=$\sqrt{{y}_{0}+4}$∈[$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$]，可得k=$\frac{1}{2}$[${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{17}{4}$]，利用二次函数的性质求得k的范围．

解答 解：由曲线y=cosx上存在点（x₀，y₀），使f（f（y₀））=y₀，可得y₀=cosx₀，∴-1≤y₀≤1，
即存在y₀∈[-1，1]，使f（y₀）=y₀成立，故有2k+$\sqrt{{y}_{0}+4}$=y₀，即 2k=y₀-$\sqrt{{y}_{0}+4}$．
令t=$\sqrt{{y}_{0}+4}$∈[$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$]，可得y₀=t²-4，∴2k=t²-4-t=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{17}{4}$，k=$\frac{1}{2}$[${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{17}{4}$]，
故当t=$\sqrt{3}$时，k取得最小值为$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，当t=$\sqrt{5}$时，k取得最大值为$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查配方法求二次函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．