Question

1．已知f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x₁）=f（x₂）=0，|x₂-x₁|_min=$\frac{π}{2}$．f（x）=f（$\frac{π}{3}-x$），将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得G（x），则G（x）的单调递减区间是（　　）

• A． [kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]
• B． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]
• C． [kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]
• D． [kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]

Answer 1

分析 利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G（x） 的单调递减区间．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x₁）=f（x₂）=0，|x₂-x₁|_min=$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}•T$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+θ）．
又f（x）=f（$\frac{π}{3}-x$），∴f（x）的图象的对称轴为x=$\frac{π}{6}$，∴2•$\frac{π}{6}$+θ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴θ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得G（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=cos2x 的图象，
令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，则G（x）=cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．