Question

（本小题满分12分）定义在上的函数满足下面三个条件：

①对任意正数，都有；

②当时，；

③．

（1）求和的值；

（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

（3）求满足的的取值集合.

 

Answer 1

（1），；（2）略；（3）．

【解析】

试题分析：（1）因为对任意正数，都有，所以令得，令得，令，得，对正数恰当赋值是解此类题目的关键；（2）任取，，且，则，，，所以函数在上是减函数，变形是证明此题的关键；（3）利用（1）中，（2）中函数在上是减函数，将等价变形为，解得，这里逆用单调性定义，将函数值之间的关系转化为符合条件的自变量间的关系是解此类问题最基本的方法．

试题解析：（1）∵对任意正数，都有，∴令得，

∴， 2分

∵，∴，． 4分（2）任取，，且， 5分

则，∵当时，，∴； 6分

∴ 7分

∴函数在上是减函数． 8分

（3）∵，∴，解得， 9分

∴，即，亦即， 10分

∴，解得， 11分

∴的解集为． 12分

考点：①用赋值法求抽象函数的函数值；②抽象函数的单调性的证明；③利用抽象函数的单调性解不等式．