Question

7．已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2b_n-1，
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若{c_n}={$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组求出数列的首项与公差，求解通项公式；由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1求解数列{b_n}的通项公式．
（2）通过裂项法求解数列的前n项和即可．

解答 （12分）解：（1）因为{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₇=13，设公差为d．
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+6d=13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）．…（3分）
在{b_n}中，因为当n=1时，b₁=2b₁-1，所以b₁=1．
当n≥2时，由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1，所以b_n=2b_n-1．
所以{b_n}是首项为1公比为2的等比数列，所以b_n=2^n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），…（8分）
T_n=c₁+c₂+…+c_n
=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$       …（10分）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）．（n∈N^*）．…（12分）

点评 本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．