Question

12．用数学归纳法证明：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n（n+1）}{2（2n+1）}$，推证当n=k+1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是（　　）

• A． $\frac{k（k+1）}{2（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$
• B． $\frac{k（k+1）}{2（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2k+3}$
• C． $\frac{k（k+1）}{（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$
• D． $\frac{k（k+1）}{2（2k+3）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$

Answer 1

分析 首先由题目假设n=k时等式成立，再用k+1替换，即可得到结果

解答 解：假设n=k时成立，即为：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{k}^{2}}{（2k+1）（2k-1）}$=$\frac{k（k+1）}{2（2k+1）}$，
那么当n=k+1时，需要证明，$\frac{k（k+1）}{2（2k+3）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$，
故选：D．

点评 此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．