Question

3．在△ABC中，若2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，则角A的取值范围是（0，$\frac{π}{6}$]．

Answer 1

分析 【解法一】由2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，利用正弦、余弦定理求出cosA的值，即可得出A的取值范围．
【解法二】根据题意，利用三角形的内角和定理化B为A，C，再按照角A，C的关系，利用构造法求出A的三角函数的范围，从而求出A的取值范围．

解答 解：【解法一】△ABC中，2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴2a+b=$\sqrt{3}$c，
∴4a²=b²+3c²-2$\sqrt{3}$bc，
利用余弦定理，
cosA=$\frac{{c}^{2}{+b}^{2}-{a}^{2}}{2cb}$
=$\frac{{c}^{2}{+b}^{2}-{\frac{1}{4}b}^{2}-{\frac{3}{4}c}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}bc}{2bc}$
=$\frac{{\frac{3}{4}b}^{2}+{\frac{1}{4}c}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}bc}{2bc}$
≥$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{4}bc+\frac{\sqrt{3}}{2}bc}{2bc}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当c=$\sqrt{3}$b时等号成立，
又A∈（0，π），
∴A∈（0，$\frac{π}{6}$]．
【解法二】】△ABC中，2sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB=$\sqrt{3}$sinC-sin（A+C）
=$\sqrt{3}$sinC-sinAcosC-cosAsinC，
∴$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}$=$\frac{sinC}{2+cosC}$，
令$\frac{sinC}{2+cosC}$=$\frac{1}{m}$，则msinC=2+cosC，
可得m²sin²C=4+2cosC+cos²C，
∴（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0，
关于cosC的方程有解，可得△=16-4（1+m²）（4-m²）≥0，
解得：m≥$\sqrt{3}$；
∴$\frac{sinC}{2+cosC}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又A是三角形的内角，
∴0＜A+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$，
可得A∈（0，$\frac{π}{6}$]．
故答案为：（0，$\frac{π}{6}$]．

点评 本题考查了三角形的解法以及两角和与差的三角函数应用问题，是综合性题目．