题目内容
13．设a＞1，n∈N且n≥2，求证：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$．分析 转化成指数式t+1＜（1+$\frac{t}{n}$）n．再对指数式利用二项定理展开，结合放缩法证得即可
解答 证明：要证证：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$，
即证a＜（$\frac{a-1}{n}$+1）n．
令a-1=t＞0，则a=t+1．
也就是证t+1＜（1+$\frac{t}{n}$）n．
∵（1+$\frac{t}{n}$）n=1+Cn1$\frac{t}{n}$+…+Cnn（$\frac{t}{n}$）n＞1+t，
即证：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$成立．
点评 本题考查不等式的证明，本题还考查了二项式定理的展开式，一般地，涉及不等关系的指数式可应用二项式定理展开后进行放缩，属于中档题．
练习册系列答案
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3．
如图，P为抛物线C：y2=8x上一点，F为抛物线的焦点，M为抛物线准线l上一点，且MF⊥PF，线段MF与抛物线交于点N，若|PF|=8，则$\frac{|MN|}{|NF|}$=（ ）
如图，P为抛物线C：y2=8x上一点，F为抛物线的焦点，M为抛物线准线l上一点，且MF⊥PF，线段MF与抛物线交于点N，若|PF|=8，则$\frac{|MN|}{|NF|}$=（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$ | D． | $\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$ |
4．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点P是准线上任一点，直线PF交抛物线于A，B两点，若$\overrightarrow{FP}$=4$\overrightarrow{FA}$，则S△AOB=（ ）
| A． | $\frac{5\sqrt{2}}{6}$ | B． | 3$\sqrt{2}$ | C． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{9}{2}$ |
5．在等比数列{an}中，公比q=-2，且a3a7=4a4，则a8等于（ ）
| A． | 16 | B． | 32 | C． | -16 | D． | -32 |