Question

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁•x₂=（ ）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009

Answer 1

【答案】分析：由题意可得，x₁是函数y= 和y=lgx交点M的横坐标，x₂ 是函数y=和y=10^x的图象的交点N的横坐标．由于函数y=10^x和y=lgx互为反函数，故线段MN的中点G在直线y=x上．由于M（x₁，），N（x₂，），G（，），可得 =，由此求得 x₁•x₂ 的值．
解答：解：已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁是函数y= 和y=lgx交点M的横坐标，
x₂ 是函数y=和y=10^x的图象的交点N的横坐标．
由于 函数y=10^x和y=lgx互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，故M、N两个点关于直线y=x对称，
即线段MN的中点G在直线y=x上．
由于M（x₁，），N（x₂，），G（，），
∴=，∴x₁•x₂=2009，
故选D．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，互为反函数的两个函数的图象间的关系，属于中档题．