Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x-1\\ 1\end{array}\right.\begin{array}{l}{（x≥1）}\\{（x＜1）}\end{array}$，则满足不等式f（2x²）＜f（1-x）的x的取值范围是{x|$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x＜1 或x＜-1}．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（1）=-3，f（2）=1，由此结合f（x）的图象可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＜1}\\{{1≤2x}^{2}＜2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥1}\\{1-x＜{2x}^{2}}\end{array}\right.$，由此求得x的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x-1\\ 1\end{array}\right.\begin{array}{l}{（x≥1）}\\{（x＜1）}\end{array}$，
故当x≥1时，f′（x）=3x²-3≥0，
故f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（1）=-3，f（2）=1．
故函数f（x）的图象如图所示：
则由不等式f（2x²）＜f（1-x），
可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＜1}\\{{1≤2x}^{2}＜2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥1}\\{1-x＜{2x}^{2}}\end{array}\right.$．
求得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x＜1 或x＜-1，
故要求的x的取值范围为{x|$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x＜1 或x＜-1}．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．