Question

12．已知命题p：?x₀∈[0，2]，log₂（x₀+2）＜2m；命题q：向量$\overrightarrow a=（1，m）$与向量$\overrightarrow b=（1，-3m）$的夹角为锐角．
（I）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（II）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）若向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$夹角为锐角，则满足：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0\\ m+3m≠0\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）令f（x）=log₂（x+2），则f（x）在x∈[0，2]上是增函数．故当x₀∈[0，2]时，f（x₀）≥f（0）；则当命题p为假时$m≤\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：（I）若向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$夹角为锐角，则满足：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0\\ m+3m≠0\end{array}\right.$…（2分）
即$\left\{\begin{array}{l}1-3{m^2}＞0\\ m≠0\end{array}\right.$
所以当q为真时，有：$m∈（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$…（4分）
（II）令f（x）=log₂（x+2），则f（x）在x∈[0，2]上是增函数．
故当x₀∈[0，2]时，f（x₀）≥f（0）=1，
即$m＞\frac{1}{2}$…（6分）
则当命题p为假时$m≤\frac{1}{2}$…（7分）
若（?p）∧q为真，则?p为真且q为真．…（8分）
从而$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜0或0＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$…（10分）
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜0$或$0＜m≤\frac{1}{2}$
∴实数m的取值范围为：$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{1}{2}]$…（12分）

点评 本题考查了向量夹角公式、函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．