Question

20．如图，在△ABC中，M为BC的中点，$\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$．
（I）以$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$为基底表示$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{CN}$；
（II）若∠ABC=120°，CB=4，且AM⊥CN，求CA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的几何意义即可求出，
（Ⅱ）根据向量的垂直和向量的数量积公式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$；
$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}$，
（Ⅱ）由已知AM⊥CN，得$\overline{AM}•\overrightarrow{CN}=0$，即$（-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}）•（\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{3}{8}\overrightarrow{CB}）=0$，
展开得 $-\frac{1}{4}{\overrightarrow{CA}^2}-\frac{5}{8}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\frac{3}{8}{\overrightarrow{CB}^2}=0$，
又∵∠ACB=120°，CB=4，
∴${|{\overrightarrow{CA}}|^2}-5|{\overrightarrow{CA}}|-24=0$，
即$（|{\overrightarrow{CA}}|-8）（|{\overrightarrow{CA}}|+3）=0$，
解得$|{\overrightarrow{CA}}|=8$，即CA=8为所求

点评 本题考查了向量的几何意义和向量的垂直和向量的数量积的运算，属于基础题．