题目内容
一种变压器的铁芯的截面为正十字型，如图，为保证所需的磁通量，要求十字型具有4| 5 |
分析：设外接圆的半径为Rcm，则 R=
，根据面积求出长，然后表示出外接圆的周长，利用导数研究函数的最小值即可．
| 1 |
| 2 |
| x2+y2 |
解答：解：设外接圆的半径为R cm，则 R=
．
由2xy-x2=4
，得 y=
．
要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取最小值．
设 f（x）=R2=
[x2+（
）2]=
x2+
+
（0＜x＜2R）
则 f'（x）=
x-
．令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
当0＜x＜2 时f'（x）＜0；当x＞2 时，f'（x）＞0．
因此当x=2时，R2最小，即R最小，周长最小为π
cm．
| 1 |
| 2 |
| x2+y2 |
由2xy-x2=4
| 5 |
4
| ||
| 2x |
要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取最小值．
设 f（x）=R2=
| 1 |
| 4 |
4
| ||
| 2x |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| x2 |
| ||
| 2 |
则 f'（x）=
| 5 |
| 8 |
| 10 |
| x3 |
当0＜x＜2 时f'（x）＜0；当x＞2 时，f'（x）＞0．
因此当x=2时，R2最小，即R最小，周长最小为π
10+2
|
点评：本题通过设间接变量，由题意得到一个函数，再确定它的最小值．间接处理所研究的目标，并用导数研究目标函数的最小值，是解本题的关键所在．
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