题目内容
10．已知幂函数f（x）=${x}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈N）图象关于原点对称，且在[0，+∞）上为增函数．（1）求函数 f （x）的解析式；
（2）若f（2x2-1）＞f（3x-2），求x的取值范围．
分析 （1）根据幂函数的图象与性质，列不等式求出m的值，从而求出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）为奇函数且为增函数，把f（2x2-1）＞f（3x-2）化为2x2-1＞3x-2，求出解集即可．
解答 解：（1）因为 f （x）为幂函数且在[0，+∞）上为增函数，
所以-m2+2m+3＞0，即m2-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3；
又因为m∈N，
所以m=0或m=1或m=2；
又函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，
经检验m=0或m=2满足题意，
所以f（x）=x3；
（2）由题意知，f（x）为奇函数且为增函数，
所以由f（2x2-1）＞f（3x-2）可得2x2-1＞3x-2，
即2x2-3x+1＞0，
解得x＜$\frac{1}{2}$或x＞1；
所以x的取值范围是x＜$\frac{1}{2}$或x＞1．
点评 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是中档题．
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