题目内容
13．设函数f（x）=（x+b）lnx，y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=3x平行．（1）求b的值；
（2）若函数$g（x）={e^x}（\frac{f（x）}{x+2}-2a）$（a≠0），且g（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．
分析 （1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，求导数，代入计算，即可得出结论；
（2）求导数，分类讨论，即可求实数a的取值范围．
解答 解：（1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，
所以f′（1）=3，又f′（x）=lnx+$\frac{b}{x}$+1，
即ln1+b+1=3，所以b=2．
（2）由（1）知g（x）=exlnx-2aex，
所以g′（x）=（$\frac{1}{x}$+lnx-2a）ex（x＞0），
若g（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}+lnx-2a≤0$，所以2a≥$\frac{1}{x}$+lnx．
令h（x）=$\frac{1}{x}$+lnx（x＞0），则h′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由h'（x）＞0，得x＞0，h'（x）＜0，得0＜x＜1，
故h（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
则$\frac{1}{x}+lnx→+∞$，h（x）无最大值，g'（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
故g（x）在（0，+∞）不可能是单调减函数．
若g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}+lnx-2a≥0$，所以2a≤$\frac{1}{x}$+lnx，
由前面推理知，h（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的最小值为h（1）=1，
∴2a≤1，故a的取值范围是a$≤\frac{1}{2}$．
点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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