题目内容
已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x-lnx-2，g（x）=xlnx+x．
（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；
（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x-1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．
（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；
（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x-1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．
考点：函数零点的判定定理,函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：（1）令f（x）=0，得：x-2=lnx，画出函数y=x-2，y=lnx的图象，读出即可；（2）将问题转化为k＜
在x＞1上恒成立，令h（x）=
，求出最小值即可．
| xlnx+x |
| x-1 |
| xlnx+x |
| x-1 |
解答：
（1）证明：令f（x）=0，得：x-2=lnx，
画出函数y=x-2，y=lnx的图象，如图示：
∴f（x）存在唯一的零点，
又f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴零点属于（3，4）；
（2）解：由g（x）＞k（x-1）对任意的x＞1恒成立，
得：k＜
，（x＞1），
令h（x）=
，（x＞1），则h′（x）=
=
，
设f（x0）=0，则由（1）得：3＜x0＜4，
∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
而3＜h（3）=
＜4，
＜h（4）=
＜4，
∴h（x0）＜4，
∴k的最大值是3．
（1）证明：令f（x）=0，得：x-2=lnx，画出函数y=x-2，y=lnx的图象，如图示：
∴f（x）存在唯一的零点，
又f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴零点属于（3，4）；
（2）解：由g（x）＞k（x-1）对任意的x＞1恒成立，
得：k＜
| xlnx+x |
| x-1 |
令h（x）=
| xlnx+x |
| x-1 |
| x-lnx-2 |
| (x-1)2 |
| f(x) |
| (x-1)2 |
设f（x0）=0，则由（1）得：3＜x0＜4，
∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
而3＜h（3）=
| 3ln3+3 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
| 4ln4+4 |
| 3 |
∴h（x0）＜4，
∴k的最大值是3．
点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题．
练习册系列答案
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