Question

6．已知F₁（-2，0），F₂（2，0）直线l：x+y-4=0，点P在直线l上，则过点P以F₁，F₂为焦点且长轴最短的椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），依题意可得c的值，进而求得b与a的关系，将直线方程代入椭圆方程得到一个二次方程．因直线与椭圆有交点，可知△≥0进而求出a的取值范围，进而求出a的最小值，求出此时的椭圆方程．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵c=2，∴b²=a²-c²=a²-4，
将直线方程y=-x+4代入椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得
（a²-4）x²+a²（x²-8x+16）=a²（a²-4），
即（2a²-4）x²-8a²x+20a²-a⁴=0，
∵直线与椭圆有公共点，
∴△=（8a²）²-4（2a²-4）（20a²-a⁴）
=4a²[16a²-（40a²-2a⁴-80-4a²）]
=4a²（2a⁴-28a²+80）
=8a²（a²-10）（a²-4）≥0，
∵a²＞c²=4，∴a²≥10，当a²=10时，b²=a²-4=6
∴长轴最短的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程及椭圆与直线的问题．用方程解的情况来判断，从方程角度看，主要是一元二次方程根的判别式△≥0．