Question

设x，y＞0，且x+y=4，若不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，则实数m的最大值为

9

4

．

Answer 1

分析：要使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，只需

1

x

+

4

y

的最小值大于等于m即可，而由基本不等式可得

1

x

+

4

y

的最小值．

解答：解：∵x，y＞0，且x+y=4，∴

1

x

+

4

y

=（

1

x

+

4

y

）（

x+y

4

）
=

1

4

（5+

y

x

+

4x

y

）≥

1

4

（5+2×2）=

9

4

，
当且仅当y=2x=

8

3

时等号成立．
故m≤

9

4

，即实数m的最大值为

9

4

．
故答案为：

9

4

点评：本题为基本不等式求最值，涉及恒成立问题，属基础题．