Question

2．已知z为复数，z+i和$\frac{z}{2-i}$均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z和|z|；
（Ⅱ）若${z_1}=\overline z+\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$在第四象限，求m的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）z=a+bi（a，b∈R），代入z+i和$\frac{z}{2-i}$利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0列式求得a，b的值，则复数z和|z|可求；
（Ⅱ）把$\overline{z}$代入${z_1}=\overline z+\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$，利用复数代数形式的加减运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．

解答 解：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），
则z+i=a+（b+1）i，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{a+bi}{2-i}=\frac{（a+bi）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2a-b}{5}+\frac{a+2b}{5}i$．
∵z+i和$\frac{z}{2-i}$均为实数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+1=0}\\{a+2b=0}\end{array}\right.$，解得a=2，b=-1．
∴z=2-i，|z|=$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）∵${z_1}=\overline z+\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$=2+i+$\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$=$\frac{2m-1}{m-1}+\frac{m-5}{m+2}i$在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m-1}{m-1}＞0}\\{\frac{m-5}{m+2}＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜m＜$\frac{1}{2}$或1＜m＜5．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．