题目内容
下面有五个命题
①函数f（x）=sin4x-cos4x图象的一个对称中心是(-
，0)；
②y=
的图象关于点（-1，1）对称，
③定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函数，在锐角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），则m和n的大小关系为m＞n
④设f（x）是连续的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则方程f(x)=f(
)所有根之和为8
⑤不等式sinx＞
对任意x∈(0，
)恒成立．
其中真命题的序号是 ．
①函数f（x）=sin4x-cos4x图象的一个对称中心是(-
| π |
| 4 |
②y=
| x+3 |
| x-1 |
③定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函数，在锐角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），则m和n的大小关系为m＞n
④设f（x）是连续的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则方程f(x)=f(
| x+3 |
| x+4 |
⑤不等式sinx＞
| 4x2 |
| π2 |
| π |
| 2 |
其中真命题的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：综合题
分析：①化简函数f（x），判断f（x）图象的一个对称中心是(-
，0)即可；
②求出函数y的图象关于某点对称的点的坐标；
③根据题意得出f（x）的周期性于单调性，再得出sinA+sinB＞cosA+cosC，利用f（x）的单调性判断m、n的大小；
④利用f（x）的奇偶性与单调性，结合题意求出f（x）=f（
）时，所有x的和是多少；
⑤设f（x）=sinx-
，利用导数判断f（x）在（0，
）上的增减性与极值，从而判断sinx＞
是否恒成立．
| π |
| 4 |
②求出函数y的图象关于某点对称的点的坐标；
③根据题意得出f（x）的周期性于单调性，再得出sinA+sinB＞cosA+cosC，利用f（x）的单调性判断m、n的大小；
④利用f（x）的奇偶性与单调性，结合题意求出f（x）=f（
| x+3 |
| x+4 |
⑤设f（x）=sinx-
| 4x2 |
| π2 |
| π |
| 2 |
| 4x2 |
| π2 |
解答：
解：对于①，∵函数f（x）=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x，
当x=-
时，f（x）=-cos[2×（-
）]=0，
∴f（x）图象的一个对称中心是(-
，0)，①正确；
对于②，∵y=
=1+
，∴y的图象关于点（1，1）对称，∴②错误；
对于③，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为4的函数；
又∵f（x）在[-6，-4]上是增函数，∴f（x）在[-2，0]上也是增函数；
又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在[0，2]上是减函数；
在锐角△ABC中，A+C＞
，∴A＞
-C，
∵y=sinx在区间（0，
）上是增函数，
＞A＞
-C＞0，
∴sinA＞sin（
-C）=cosC，即锐角三角形的两个内角A、C是满足sinA＞cosC，
同理，sinB＞cosA，
∴sinA+sinB＞cosA+cosC，且（sinA+sinB）∈（0，2），cosA+cosC∈（0，2），
∵m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），∴m＜n，③错误；
对于④，∵f（x）是连续的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，
∴当f（x）=f（
）时，有x=
或-x=
，
整理得x2+3x-3=0或x2+5x+3=0，
∴x1+x2=-3或x3+x4=-5；
∴满足f（x）=f（
）的所有x的和为（-3）+（-5）=-8，∴④错误；
对于⑤，设f（x）=sinx-
，∴f′（x）=cosx-
x，
令f′（x）=0，得f（x）在（0，
）上恒有f（x）≥min{f（0），f（
）}=0，
∴sinx＞
对任意x∈(0，
)恒成立，∴⑤正确．
综上，正确的命题是①⑤．
故答案为：①⑤．
当x=-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴f（x）图象的一个对称中心是(-
| π |
| 4 |
对于②，∵y=
| x+3 |
| x-1 |
| 4 |
| x-1 |
对于③，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为4的函数；
又∵f（x）在[-6，-4]上是增函数，∴f（x）在[-2，0]上也是增函数；
又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在[0，2]上是减函数；
在锐角△ABC中，A+C＞
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∵y=sinx在区间（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴sinA＞sin（
| π |
| 2 |
同理，sinB＞cosA，
∴sinA+sinB＞cosA+cosC，且（sinA+sinB）∈（0，2），cosA+cosC∈（0，2），
∵m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），∴m＜n，③错误；
对于④，∵f（x）是连续的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，
∴当f（x）=f（
| x+3 |
| x+4 |
| x+3 |
| x+4 |
| x+3 |
| x+4 |
整理得x2+3x-3=0或x2+5x+3=0，
∴x1+x2=-3或x3+x4=-5；
∴满足f（x）=f（
| x+3 |
| x+4 |
对于⑤，设f（x）=sinx-
| 4x2 |
| π2 |
| 8 |
| π2 |
令f′（x）=0，得f（x）在（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴sinx＞
| 4x2 |
| π2 |
| π |
| 2 |
综上，正确的命题是①⑤．
故答案为：①⑤．
点评：本题通过命题真假的判断，考查了函数的单调性与奇偶性、周期性的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是难题．
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