Question

18．已知向量$\vec a=（{sinx，-1}）$，$\vec b=（{\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}}）$，函数$f（x）=（{\vec a+\vec b}）•\vec a-2$．
（1）求函数f（x）在$[{0，\frac{2π}{3}}）$上的最值；
（2）若a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，其中A为锐角，$a=2\sqrt{3}$，c=4，且f（A）=1，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；借助正弦函数的最值，求出函数f（x）在$[{0，\frac{2π}{3}}）$上的最值；
（2）由f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，又A为锐角，即可解得A，从而由正弦定理解得C=$\frac{π}{2}$，可得△ABC为Rt△，即可求得b，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）$f（x）=（{\vec a+\vec b}）•\vec a-2={\vec a^2}+\vec a•\vec b-2$
=${sin^2}x+1+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}-2$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
当$x∈[{0，\frac{2π}{3}}）$时，$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}）$，
结合正弦函数的图象知，当$2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$，即x=0时，函数f（x）取得最小值，且最小值为$-\frac{1}{2}$；
当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值，且最大值为1．
所以函数f（x）在$[{0，\frac{2π}{3}}）$上的最大值为1，最小值为$-\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知$f（A）=sin（{2A-\frac{π}{6}}）=1$．
因为$A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$2A-\frac{π}{6}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
所以$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{3}$．
由a²=b²+c²-2bccosA，得$12={b^2}+16-2×4b×\frac{1}{2}$，
即b²-4b+4=0，解得b=2．
故$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×4×sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．