Question

如图，为圆的直径，为圆周上异于、的一点，垂直于圆所在的平面，于

点，于点.

（1）求证：平面；

（2）若，，求四面体的体积.

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全,证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；(2)利用棱锥的体积公式求体积.(3)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(4)在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.

试题解析：(1）证明：∵BC为圆O的直径 ∴CD⊥BD

∵AB⊥圆O所在的平面 ∴AB⊥CD 且ABBD=B

∴CD⊥平面ABD

又∵BF平面ABD ∴CD⊥BF

又∵BF⊥AD 且ADCD=D

∴BF⊥平面ACD 6分

（2）法一：∵AB=BC=，∠CBD=45° ∴BD=CD=

∵BE⊥AC ∴E为AC中点

又∵CD⊥平面ABD

∴E到平面BDF的距离为

在Rt△ABD中，由于BF⊥AD 得

∴

∴ 13分

法二：∵AB=BC=，∠CBD=45° ∴BD=CD=

∵BE⊥AC ∴E为AC中点 ∴E到边AD的距离为

在Rt△ABD中，由于BF⊥AD，得

，由（1）知BF⊥平面DEF

∴ 13分

考点：(1）直线与平面垂直的判定；（2）求四面体的体积.