Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）作直线与椭圆C相交于两点G，H，设P为椭圆C上动点，且满足$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=t$\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点）．当t≥1时，求△OGH面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知c=1，根据椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，即可求得a的值，再利用a²=b²+c²，解得b的值，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线方程及点G和H的坐标，并将直线方程代入椭圆方程求得关于y的一元二次方程，利用韦达定理求得丨y₁-y₂丨的表达式，由$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=t$\overrightarrow{OP}$，求得P点坐标，并代入椭圆方程，求得m的取值范围，利用三角形的面积公式，求得△OGH面积S，并根据m的取值范围，及函数单调性求得△OGH面积S的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$，
a²=b²+c²，解得b=1，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设过点M的直线方程为x=my+2，
G，H两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
将直线方程代入椭圆方程整理得：（m²+2）y²+4my+2=0，△=8m²-16＞0⇒m²＞2，
由韦达定理可知y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，
由丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{4m}{2+{m}^{2}}）^{2}-\frac{8}{2+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=t$\overrightarrow{OP}$点P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}$），
点P在椭圆上，（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$）²+2（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}$）²=2，化简整理得：[m（y₁+y₂）+4]²+2（y₁+y₂）²=2t²，
将y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，整理得：m²=$\frac{16}{{t}^{2}}$-2，
∵t≥1，
∴2≤m²≤14，
S_△OGH=$\frac{1}{2}$•2•丨y₁-y₂丨=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$，
令$\sqrt{{m}^{2}-2}$=t，t∈（0，2$\sqrt{3}$]，
∴S_△OGH=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$，$\frac{4}{t}$
令g（t）=t+$\frac{4}{t}$，g（t）在（0，2]上单调递减，在[2，2$\sqrt{3}$]单调递增，
∴0＜S_△OGH≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
△OGH面积S的取值范围（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线和椭圆位置关系的应用、韦达定理及弦长公式的应用，考查分析问题及解决问题得能力，属于中档题．