Question

1．已知函数f（x）=$\frac{x}{{ln（{ax}）+2}}$（a≠0）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（${\frac{1}{2}$，f（${\frac{1}{2}}$））处的切线方程；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（${\frac{1}{2}}$），f（${\frac{1}{2}}$），代入切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\frac{x}{2+ln2x}$，f′（x）=$\frac{1+ln2x}{{（2+ln2x）}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
故切线方程为：2x-8y+1=0．
（2）显然当x∈[2，4]时，$a＞0，f'（x）=\frac{lnax+1}{{{{（{lnax+2}）}^2}}}$，
令f'（x）＞0，解得$x＞\frac{1}{ae}$，即当$x∈（{0，\frac{1}{ae}}）$时，f'（x）＜0；
x∈（$\frac{1}{ae}$，+∞）时，f'（x）＞0，
若$a≥\frac{1}{2e}$，则$\frac{1}{ae}≤2，f（x）$在[2，4]上单调递增，
其最小值为$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$，最大值为$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
若$\frac{1}{4e}＜a＜\frac{1}{2e}，f（x）$的最小值为$f（{\frac{1}{ae}}）=\frac{1}{ae}$，
$f（2）-f（4）=\frac{2}{ln2a+2}-\frac{4}{ln4a+2}=\frac{{-2（{3lna+2}）}}{{（{ln2a+2}）（{ln4a+2}）}}，（{ln2a+2}）（{ln4a+2}）＞0$，3lna+2＞0，
∴f（2）-f（4）＜0，f（2）＜f（4），最大值为$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
若$a≤\frac{1}{4e}，f（x）$的最小值为$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，最大值为$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$．
综上所述，当$a≥\frac{1}{4e}$时，函数f（x）的最小值为$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$，最大值为$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
当$\frac{1}{4e}＜a＜\frac{1}{2e}$时，函数f（x）的最小值为$f（{\frac{1}{ae}}）=\frac{1}{ae}$，最大值为$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
当$a≤\frac{1}{4e}$时，函数f（x）的最小值为$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，最大值为$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．