Question

13．已知椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，直线PF₁与圆x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求解三角形得到F₂到PF₁所在直线距离，进一步得到O到PF₁所在直线距离，结合直线PF₁与圆x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切列式求得椭圆的离心率．

解答 解：如图，
设直线PF₁与圆x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切于G，连接OG，
过F₂作F₂H⊥PF₁于H，
∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-2c，则|PH|=a-c，
∴$|{F}_{2}H|=\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}-|PH{|}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-（a-c）^{2}}=\sqrt{3{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}$．
∴|OG|=$\frac{1}{2}\sqrt{3{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}$=$\frac{c}{2}$．
即3c²+2ac-a²=c²，
∴2e²+2e-1=0，解得e=$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$（舍）或e=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．