Question

已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

Answer 1

解　(1)由，

a>1时，x²－2x＋a>0恒成立，

定义域为(0，＋∞)，

a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，

0<a<1时，定义域为．

(2)设g(x)＝x＋－2，

当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

g′(x)＝1－＝>0恒成立，

∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．

∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．

∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.

(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，

即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x²，

而h(x)＝3x－x²＝－(x－)²＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，

∴h(x)_max＝h(2)＝2.

∴a>2.