Question

11．求y=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$（x＞-1）的值域．

Answer 1

分析 利用分离常数法求函数的值域．

解答 解：函数y=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=$\frac{\frac{1}{2}（{e}^{x}+1）-\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$
∵x＞-1，
∴${e}^{x}+1＞\frac{1}{e}+1$
∴$\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$＜$\frac{3}{\frac{2}{e}+2}$
∴-$\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$＞-$\frac{3}{\frac{2}{e}+2}$．
∴y=$\frac{1}{2}$$-\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{\frac{2}{e}+2}$．
故得函数y的值域为（$\frac{1}{2}-\frac{3e}{2+2e}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．