Question

18．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，1-2cos²x），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的对称轴方程；
（2）当x∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为k，试判断k的符号，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意，用向量坐标运算写出f（x）的表达式并化简得到f（x）的解析式，用T=$\frac{2π}{ω}$求出最小正周期，结合函数图象写出其对称轴方程；
（2）求出x∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$）时函数的单调性，再由k=$\frac{△y}{△x}$判断k的符号．

解答 解：（1）由题意得，
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinx•2cosx+（-1）•（1-2cos²x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以T=π，
对称轴：2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）即x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
所以对称轴方程为：x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z）；
（2）因为x∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$），
所以2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{2}$），
所以y=f（x）在（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$）为减函数，
所以令x₁＞x₂且x₁，x₂∈（-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$），则f（x₁）＜f（x₂），
所以k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
所以k＜0．

点评 本题考查学生对向量坐标运算，三角恒等变换以及三角函数性质掌握情况，需要学生熟练掌握．