Question

7．解答题
$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}In（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{2}sinx}$．

Answer 1

分析 利用等价无穷小将sinx～x，洛必达法则将原式转化为$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+{x}^{2}）}{3{x}^{2}}$，再次利用等价无穷小ln（1+x）～x，即可将原式化简为$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{x}^{2}}{3{x}^{2}}$，解得结果．

解答 解：根据等价无穷小公式可知：
$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}In（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{2}sinx}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}ln（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{3}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+{x}^{2}）}{3{x}^{2}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{x}^{2}}{3{x}^{2}}$，
=$\frac{1}{3}$．
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}In（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{2}sinx}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查求函数的极限，考查利用等价无穷小及洛必达法则求得极限，考查计算能力，属于中档题．