Question

已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.

(1)求直线PQ与圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

 

Answer 1

（1）(x－1)2＋y2＝13. （2）y＝－x＋4或y＝－x－3

【解析】(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心C(a，b)，半径为r，

由于线段PQ的垂直平分线的方程是

y－＝x－，

即y＝x－1，所以b＝a－1.①

又由在y轴上截得的线段长为4，

知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②

由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.

当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，

当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，

故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.

(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，

A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，

由题意可知OA⊥OB，即·＝0，

x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0

整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0，

将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13，

可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.

∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，

即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，Δ＝－4(m2－2m－25)>0，

∴m＝4或m＝－3，满足Δ>0，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.