Question

2．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{ax-2}{x-1}$在区间（2，4）上单调递减，则实数α的取值范囤a＜2．

Answer 1

分析 由题意数f（x）是复合函数．根据复合函数的单调性“同增异减”即可得解．

解答 解：由函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{ax-2}{x-1}$；
令u（x）=$\frac{ax-2}{x-1}$＞0，
∵u（x）=$\frac{ax-2}{x-1}$=$\frac{a（x-1）+a-2}{x-1}$=$a+\frac{a-2}{x-1}$，
∴当a-2＜0时，即a＜2，u（x）在区间（1，+∞）是增函数．
u（x）=$\frac{ax-2}{x-1}$在区间（2，4）也为增函数．
当x=2时，u（x）的最小值为a+a-2≥0，解得：a≥1．
真数在给定区间上恒为正．
又∵（2，4）?（1，+∞）是增函数，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u（x）$是减函数．
根据复合函数的单调性“同增异减”
可得：f（x）在区间上（2，4）上单调减函数，符合题意．
故答案为：1≤a＜2．

点评 本题考查了复合函数的单调性“同增异减”的运用能力，逆向思维解题方式．属于基础题．